2020年全国二卷数学真题及答案

一、选择题部分

1. 题目：设函数f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的极值点。

答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x=-1时，f(x)取得极大值2；当x=1时，f(x)取得极小值-1。

2. 题目：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，S10=100，求公差d。

答案：由等差数列的前n项和公式得，S5=5/2(2a1+4d)=20，S10=10/2(2a1+9d)=100。解得a1=1，d=2。

3. 题目：已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a+b的模长。

答案：向量a+b=(1+2,2+3)=(3,5)，模长为√(3^2+5^2)=√34。

二、填空题部分

1. 题目：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1+a2+a3=9，a1+a4+a5=27，求q。

答案：由等比数列的性质得，a2=a1q，a3=a1q^2，a4=a1q^3，a5=a1q^4。代入已知条件得，a1+a1q+a1q^2=9，a1q^3+a1q^4+a1q^5=27。解得q=3。

2. 题目：若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，且f(0)=1，f(2)=5，求a、b、c的值。

答案：由题意得，f'(x)=2ax+b，令f'(x)=0，解得x=-b/(2a)。由f(0)=1得c=1，由f(2)=5得4a+2b+1=5。又因为f(x)在x=1时取得最小值，所以a>0。解得a=1，b=-2，c=1。

三、解答题部分

1. 题目：已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的单调区间。

答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当-10，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减。

2. 题目：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，S10=100，求公差d和首项a1。

答案：由等差数列的前n项和公式得，S5=5/2(2a1+4d)=20，S10=10/2(2a1+9d)=100。解得a1=1，d=2。

3. 题目：已知函数f(x)=ax^2+bx+c，求f(x)的图像。

答案：由题意得，f(x)=ax^2+bx+c。当a>0时，f(x)的图像开口向上，当a<0时，f(x)的图像开口向下。当a=0时，f(x)为一次函数。根据f(0)=1，f(2)=5，解得a=1，b=-2，c=1。所以f(x)=x^2-2x+1。