全国甲卷高考数学理真题及答案解析
一、选择题
1. 题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的极值。
答案：首先求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$\frac{2}{3}
2. 题目：在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C$在直线$y=2x$上，且$\triangle ABC$为等腰直角三角形，求点$C$的坐标。
答案：设点$C$的坐标为$(x,2x)$，由于$\triangle ABC$为等腰直角三角形，所以$AB=AC$。根据两点间的距离公式，得到$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(2x-2)^2}$，解得$x=1$或$x=3$。因此，点$C$的坐标为$(1,2)$或$(3,6)$。
二、填空题
1. 题目：若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=45$，$S_8=100$，则公差$d$的值为______。
答案：由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_5=45$和$S_8=100$，解得$d=5$。
2. 题目：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得极值，则$\frac{b}{2a}$的值为______。
答案：由导数的定义，$f'(x)=2ax+b$，令$f'(1)=0$，得$2a+b=0$，即$b=-2a$。因此，$\frac{b}{2a}=-1$。
三、解答题
1. 题目：已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}-\frac{1}{x-1}$，求$f(x)$的定义域，并判断$f(x)$的奇偶性。
答案：函数$f(x)$的定义域为$x\neq1$。对于$x\neq1$，有$f(-x)=\frac{(-x)^2}{-x-1}-\frac{1}{-x-1}=\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$。因此，$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
2. 题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
答案：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot2^n-1}{2^n-1}=2$。
