在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G，

在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G，这个几何问题在高中数学中是一个典型的空间几何问题。下面我将详细解释这个问题的解题过程。

首先，我们要明确正方体的基本性质。正方体有6个面，每个面都是正方形，12条棱，每个顶点都有3条棱相交。在这个问题中，顶点A是正方体的一个顶点，E、F、G分别是与A相连的三条棱的中点。

要解决这个问题，我们首先需要了解中点的概念。在一条线段上，中点是指将线段等分的那一点。因此，E、F、G分别是线段AB、AC、AD的中点。

接下来，我们需要考虑E、F、G这三个点的位置关系。由于E、F、G分别是线段AB、AC、AD的中点，那么它们位于正方体的三个不同的面上。具体来说，E位于正方体的一个侧面上，F位于正方体的一个顶点上，G位于正方体的另一个侧面上。

由于正方体的对称性，我们可以得出结论：E、F、G这三个点构成一个等边三角形。这是因为正方体的三个侧面都是正方形，所以E、F、G到顶点A的距离相等，且E、F、G之间的距离也相等。

现在，我们来计算E、F、G构成等边三角形的边长。设正方体的棱长为a，那么线段AB、AC、AD的长度都是a。由于E、F、G分别是这些线段的中点，所以AE、AF、AG的长度都是a/2。

根据勾股定理，我们可以计算出E、F、G构成等边三角形的边长。设E、F、G构成的等边三角形的边长为x，那么有：

x^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2

x^2 = a^2/4 + a^2/4

x^2 = a^2/2

x = √(a^2/2)

x = a/√2

因此，E、F、G构成的等边三角形的边长是a/√2。

最后，我们来考虑E、F、G构成的等边三角形与正方体的关系。由于E、F、G构成的等边三角形位于正方体的三个不同的面上，那么这个等边三角形与正方体的六个面都有交点。这些交点将构成一个正六边形，正六边形的边长也是a/√2。

综上所述，我们得出结论：在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G，它们构成一个等边三角形，该三角形的边长是正方体棱长的√2倍。同时，E、F、G构成的等边三角形与正方体的六个面都有交点，这些交点将构成一个正六边形。