解答2013年安徽高考数学压轴题，我们首先需要明确题目背景和考察的知识点。2013年安徽高考数学压轴题是一道涉及数列与不等式交汇的综合性题目，考察了学生的逻辑推理、运算求解能力和创新意识。
第一小题要求证明数列$\{a_{n}\}$是单调递增的。解题步骤如下：首先，我们要证明$a_{n+1} - a_{n} > 0$。由题意得$a_{n+1} = a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2} + 1}$，将$a_{n+1} - a_{n}$进行因式分解，得到$(a_{n+1} - a_{n})(a_{n+1} + a_{n}) = 1$。因为$a_{n+1} + a_{n} > 0$，所以$a_{n+1} - a_{n} > 0$，即数列$\{a_{n}\}$是单调递增的。
第二小题要求证明对于任意正整数$n$，都有$2a_{n} + 1 > n^{2}$。证明过程如下：首先，当$n=1$时，$2a_{1} + 1 = 3 > 1^{2}$，不等式成立。假设当$n=k$时不等式成立，即$2a_{k} + 1 > k^{2}$。那么当$n=k+1$时，我们有$2a_{k+1} + 1 = 2(a_{k} + \sqrt{a_{k}^{2} + 1}) + 1 = 2a_{k} + 2\sqrt{a_{k}^{2} + 1} + 1$。由于$\sqrt{a_{k}^{2} + 1} > a_{k}$，所以$2a_{k} + 2\sqrt{a_{k}^{2} + 1} + 1 > 2a_{k} + 2a_{k} + 1 = 4a_{k} + 1 > 2k^{2} + 1 > (k+1)^{2}$。由数学归纳法可知，对于任意正整数$n$，都有$2a_{n} + 1 > n^{2}$。
第三小题要求求出数列$\{a_{n}\}$的通项公式。根据前两题的结论，我们知道数列$\{a_{n}\}$是单调递增的，且满足$2a_{n} + 1 > n^{2}$。由此可得$a_{n} > \frac{n^{2} - 1}{2}$。又因为$a_{n} = a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}^{2} + 1}$，所以$a_{n}^{2} = a_{n-1}^{2} + 2a_{n-1} + 1$。将$a_{n}^{2}$代入不等式$a_{n}^{2} > n^{2}$，得到$a_{n-1}^{2} + 2a_{n-1} + 1 > n^{2}$。进一步化简得到$a_{n-1} > \frac{n^{2} - 1}{2}$。由此可知，数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{2}$。
最后，我们需要求出数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$。根据通项公式，我们有$S_{n} = \frac{1}{2}(1^{2} - 1) + \frac{1}{2}(2^{2} - 1) + \frac{1}{2}(3^{2} - 1) + \ldots + \frac{1}{2}(n^{2} - 1)$。化简得到$S_{n} = \frac{1}{2}(1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2}) - \frac{1}{2}n$。由求和公式可知$1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，代入$S_{n}$得到$S_{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} - \frac{n}{2}$。
综上，2013年安徽高考数学压轴题的解答如下：
1. 证明数列$\{a_{n}\}$是单调递增的。
2. 证明对于任意正整数$n$，都有$2a_{n} + 1 > n^{2}$。
3. 求出数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{2}$。
4. 求出数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} - \frac{n}{2}$。
