数学篇
一、选择题
1. 下列函数中，定义域为实数集的是（ ）
A. $y=\sqrt{1-x^2}$
B. $y=\frac{1}{x}$
C. $y=\log_2(x-1)$
D. $y=x^3$
答案：D
解析：选项A的定义域为$[-1,1]$；选项B的定义域为$\{x|x\neq0\}$；选项C的定义域为$\{x|x>1\}$；选项D的定义域为实数集R。故选D。
2. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（ ）
A. -5
B. -6
C. 5
D. 6
答案：B
解析：由向量的数量积公式得$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times3+2\times4=6+8=14$，故选B。
二、填空题
1. 函数$y=\frac{1}{x}$的图象上一点$(2,b)$的纵坐标b的值为________。
答案：$\frac{1}{2}$
解析：将点$(2,b)$代入函数$y=\frac{1}{x}$得$b=\frac{1}{2}$。
2. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值为________。
答案：$\frac{1}{5}$
解析：由向量的夹角余弦公式得$\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{14}{\sqrt{5}\cdot5}=\frac{1}{5}$。
三、解答题
1. 已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(2x)$的表达式。
答案：$f(2x)=(2x)^2-2(2x)+1=4x^2-4x+1$
解析：将$x$替换为$2x$得$f(2x)=(2x)^2-2(2x)+1=4x^2-4x+1$。
2. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角。
答案：$\frac{\pi}{3}$
解析：由向量的夹角余弦公式得$\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{14}{\sqrt{5}\cdot5}=\frac{1}{5}$，所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$。
