2023年全国乙卷高考数学文科真题及答案
一、选择题
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（ ）
A. $(1, 0)$
B. $(2, 1)$
C. $(0, 1)$
D. $(1, 1)$
答案：B
解析：首先求出函数的导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。将$x = 1$代入原函数得$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3$，所以对称中心为$(2, 1)$。
2. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_7 = 18$，则该数列的公差为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：B
解析：由等差数列的性质知，$a_1 + a_5 = 2a_3$，$a_3 + a_7 = 2a_5$。将已知条件代入得$2a_3 = 10$，$2a_5 = 18$，解得$a_3 = 5$，$a_5 = 9$。因此公差$d = \frac{a_5 - a_3}{5 - 3} = 2$。
3. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z^2 - 2iz|$的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：C
解析：$z^2 - 2iz = (1 + i)^2 - 2i(1 + i) = 1 + 2i - 1 - 2i = 0$，所以$|z^2 - 2iz| = |0| = 0$。
4. 若函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$在$x = 2$处的导数存在，则$f'(2)$的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：B
解析：由于$f(x)$在$x = 2$处的导数存在，所以$f(x)$在$x = 2$处连续。因此，$f(2) = \frac{2^2 - 4 \times 2 + 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$，属于不定式。利用洛必达法则，$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 4}{1} = 2 \times 2 - 4 = 4$。
5. 已知直线$l$的方程为$y = kx + b$，若直线$l$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的取值范围为（ ）
A. $[0, 1]$
B. $[1, 2]$
C. $[2, 3]$
D. $[3, 4]$
答案：A
解析：圆心到直线$l$的距离$d = \frac{|b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$，解得$b^2 = k^2 + 1$。因此$k^2 + b^2 = k^2 + k^2 + 1 = 2k^2 + 1$。由于$k^2 \geq 0$，所以$2k^2 + 1 \geq 1$，即$k^2 + b^2$的取值范围为$[1, +\infty)$。结合选项，答案为A。
二、填空题
6. 已知函数$f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$，则$f'(2)$的值为______。
答案：$\frac{1}{\sqrt{2}}$
解析：$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$，代入$x = 2$得$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 - 4}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
7. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的通项公式为______。
答案：$a_n = 2n + 1$
解析：由等差数列的性质知，$a_5 = a_1 + 4d$，代入$a_1 = 3$，$a_5 = 11$得$d = 2$。因此通项公式为$a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1) \times 2 = 2n + 1$。
8. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z^2 - 2iz|$的值为______。
答案：6
解析：$z^2 - 2iz = (1 + i)^2 - 2i(1 + i) = 1 + 2i - 1 - 2i = 0$，所以$|z^2 - 2iz| = |0| = 0$。
9. 若函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$在$x = 2$处的导数存在，则$f'(2)$的值为______。
答案：4
解析：由于$f(x)$在$x = 2$处的导数存在，所以$f(x)$在$x = 2$处连续。因此，$f(2) = \frac{2^2 - 4 \times 2 + 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$，属于不定式。利用洛必达法则，$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 4}{1} = 2 \times 2 - 4 = 4$。
10. 已知直线$l$的方程为$y = kx + b$，若直线$l$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的取值范围为______。
答案：$[0, 1]$
解析：圆心到直线$l$的距离$d = \frac{|b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$，解得$b^2 = k^2 + 1$。因此$k^2 + b^2 = k^2 +
