一、函数与导数
1. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求 $f'(x)$。
解答：由导数的基本运算法则，可得
$$f'(x) = 3x^2 - 6x.$$
2. 设 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f''(x)$。
解答：由导数的基本运算法则，可得
$$f'(x) = -\frac{1}{x^2},$$
再次求导，得
$$f''(x) = \frac{2}{x^3}.$$
二、解析几何
1. 已知点 $A(2,3)$，$B(-1,5)$，求直线 $AB$ 的斜率和截距。
解答：由斜率公式，可得
$$k_{AB} = \frac{5 - 3}{-1 - 2} = -\frac{1}{3}.$$
由截距公式，可得
$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}.$$
2. 已知圆 $C: x^2 + y^2 = 25$，求圆心到直线 $x + 2y - 5 = 0$ 的距离。
解答：由点到直线的距离公式，可得
$$d = \frac{|2 + 2 \times 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$
三、数列
1. 已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1 = 3$，$a_4 = 11$，求公差 $d$。
解答：由等差数列的通项公式，可得
$$a_4 = a_1 + 3d,$$
代入已知条件，得
$$11 = 3 + 3d,$$
解得 $d = 2$。
2. 已知数列 $\{b_n\}$ 是等比数列，且 $b_1 = 2$，$b_3 = 16$，求公比 $q$。
解答：由等比数列的通项公式，可得
$$b_3 = b_1 \cdot q^2,$$
代入已知条件，得
$$16 = 2 \cdot q^2,$$
解得 $q = 4$。
四、概率与统计
1. 某班级有 40 名学生，其中有 20 名男生，20 名女生。从中随机抽取 3 名学生，求抽取到至少 1 名女生的概率。
解答：由组合数的性质，可得
$$P = \frac{C_{20}^1 \cdot C_{20}^2 + C_{20}^2 \cdot C_{20}^1 + C_{20}^3}{C_{40}^3} = \frac{7}{10}.$$
2. 某公司有 5 名员工，其中 3 名是经理，2 名是普通员工。从中随机抽取 2 名员工，求抽取到至少 1 名经理的概率。
解答：由组合数的性质，可得
$$P = \frac{C_{3}^1 \cdot C_{2}^1 + C_{3}^2 \cdot C_{2}^0}{C_{5}^2} = \frac{3}{5}.$$
