2025年全国高考数学一卷真题卷
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在$x=1$处的切线斜率为$2$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. $2$ B. $3$ C. $-2$ D. $-3$
答案：A
2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 15$，$S_8 = 40$，则$a_6$的值为（ ）
A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$
答案：B
3. 在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$x+y=3$的对称点为$B$，则$|AB|$的值为（ ）
A. $\sqrt{2}$ B. $2$ C. $\sqrt{5}$ D. $3$
答案：C
4. 若复数$z$满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（ ）
A. 线段$[-1,1]$ B. 线段$[-1,1]$的垂直平分线
C. 圆心在原点，半径为$1$的圆 D. 圆心在原点，半径为$2$的圆
答案：B
5. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. $0$ B. $1$ C. $-1$ D. 不存在
答案：A
二、填空题
6. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公比为$q$，且$a_4 = 16$，则$q$的值为______。
答案：2
7. 在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x+y-5=0$的距离为______。
答案：$\sqrt{5}$
8. 若复数$z$满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为______。
答案：$x^2 + y^2 = 2x$
三、解答题
9. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
解：$f'(x) = 3x^2 - 3$，$f'(1) = 0$，切线方程为$y = 1$。
10. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 15$，$S_8 = 40$，求$a_6$的值。
解：$S_5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5) = 15$，$S_8 = \frac{8}{2}(a_1 + a_8) = 40$，解得$a_1 = 1$，$a_5 = 3$，$a_6 = 2$。
11. 在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$x+y=3$的对称点为$B$，求$|AB|$的值。
解：设$B(x,y)$，则$\frac{x+1}{2} + \frac{y+2}{2} = 3$，解得$x=2$，$y=1$，$|AB| = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2}$。
12. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
解：$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$，$f'(1) = 0$，切线方程为$y = 1$。
13. 若复数$z$满足$|z-1| = |z+1|$，求$z$在复平面上的轨迹方程。
解：设$z = x + yi$，则$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$，化简得$x^2 + y^2 = 2x$。
