设复数 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是实部和虚部。根据题目中的条件，复数 $z$ 满足方程 $z + |z| = 8 - 4i$。首先，我们需要计算复数 $z$ 的模，即 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
将 $|z|$ 的表达式代入原方程中，得到：
$$
a + bi + \sqrt{a^2 + b^2} = 8 - 4i
$$
接下来，我们需要将方程的实部和虚部分别相等，以求解 $a$ 和 $b$。对于实部，我们有：
$$
a + \sqrt{a^2 + b^2} = 8
$$
对于虚部，我们有：
$$
b = -4
$$
由于虚部方程直接给出了 $b$ 的值，我们可以直接使用 $b = -4$ 来简化实部方程。将 $b$ 的值代入实部方程中，得到：
$$
a + \sqrt{a^2 + (-4)^2} = 8
$$
$$
a + \sqrt{a^2 + 16} = 8
$$
为了解这个方程，我们可以将其两边平方，以消去根号：
$$
(a + \sqrt{a^2 + 16})^2 = 8^2
$$
$$
a^2 + 2a\sqrt{a^2 + 16} + a^2 + 16 = 64
$$
$$
2a^2 + 16 + 2a\sqrt{a^2 + 16} = 64
$$
$$
2a\sqrt{a^2 + 16} = 64 - 2a^2 - 16
$$
$$
2a\sqrt{a^2 + 16} = 48 - 2a^2
$$
将方程两边除以 2，得到：
$$
a\sqrt{a^2 + 16} = 24 - a^2
$$
再次将方程两边平方，以消去根号：
$$
a^2(a^2 + 16) = (24 - a^2)^2
$$
$$
a^4 + 16a^2 = 576 - 48a^2 + a^4
$$
我们可以消去 $a^4$，因为它在等式两边都存在，得到：
$$
16a^2 = 576 - 48a^2
$$
将同类项移项，得到：
$$
64a^2 = 576
$$
最后，我们可以解出 $a$ 的值：
$$
a^2 = \frac{576}{64}
$$
$$
a^2 = 9
$$
$$
a = \pm3
$$
由于 $b = -4$，所以复数 $z$ 的两个可能解为 $z = 3 - 4i$ 和 $z = -3 - 4i$。这就是复数 $z$ 的两个可能的值，满足题目中的条件。
