2020年高考数学二卷真题及答案如下：
一、选择题
1. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f(x)$的值域为（ ）
A. $[1,+\infty)$
B. $[0,+\infty)$
C. $(-\infty,0)\cup[1,+\infty)$
D. $(-\infty,+\infty)$
答案：D
解析：由于$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，所以$x^2+1\geq0$，即$f(x)\geq0$。因此，$f(x)$的值域为$(-\infty,+\infty)$。
2. 已知$a,b$是实数，且$a^2+b^2=1$，则$\sqrt{a^2-b^2}$的最大值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $1$
D. $\sqrt{2}$
答案：B
解析：由于$a^2+b^2=1$，则$\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{1-2b^2}$。当$b^2=\frac{1}{2}$时，$\sqrt{a^2-b^2}$取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，则$f(x)$的极值点为（ ）
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=3$
D. $x=4$
答案：A
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$x>1$时，$f'(x)<0$。因此，$x=1$是$f(x)$的极大值点。
二、填空题
1. 若$a+b=2$，$ab=1$，则$a^2+b^2$的值为（ ）
答案：5
解析：由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2$。
2. 函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$在$(0,+\infty)$上的最大值为（ ）
答案：$\frac{1}{2}$
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$x>1$时，$f'(x)<0$。因此，$x=1$是$f(x)$的最大值点，最大值为$\frac{1}{2}$。
三、解答题
1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f(x)$的单调区间。
答案：$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上单调递增，在$(1,2)$上单调递减。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=2$。当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$12$时，$f'(x)>0$。因此，$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上单调递增，在$(1,2)$上单调递减。
2. 已知函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，求$f(x)$的值域。
答案：$f(x)$的值域为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$x>1$时，$f'(x)<0$。因此，$x=1$是$f(x)$的极大值点，极大值为$\frac{1}{2}$。又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$的值域为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
