2012年广州中考数学试题及答案解析
一、选择题解析
1. 题目：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，求∠ABC的度数。
答案：80°
解析：由于等腰三角形两底角相等，因此∠ABC=∠ACB。又因为三角形内角和为180°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-∠ACB。由于∠ABC=∠ACB，所以2∠ABC=140°，解得∠ABC=70°。
2. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(-1,2)，求该函数的解析式。
答案：y=x^2-2x+1
解析：由于顶点坐标为(-1,2)，因此对称轴为x=-1。由于图象与x轴有两个交点，因此函数开口向上，即a>0。设两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则x1+x2=-b/a=-(-2)/1=2，x1*x2=c/a=1。根据顶点坐标和对称轴，可列出方程组：
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-2 \\
x_1*x_2=1
\end{cases}
\]
解得x1=1，x2=1。因此，二次函数的解析式为y=(x-1)^2+2=x^2-2x+1。
二、填空题解析
1. 题目：若a+b=3，ab=2，则a^2+b^2的值为______。
答案：7
解析：由平方差公式得a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2*2=7。
2. 题目：在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为______。
答案：P'(3,2)
解析：由于直线y=x是x轴和y轴的等角平分线，因此点P(2,3)关于直线y=x的对称点P'(x,y)满足x=3，y=2。
三、解答题解析
1. 题目：已知正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=2，点F在边BC上，BF=2，求△AEF的面积。
答案：8
解析：由于ABCD是正方形，因此AD=AB=4。由于AE=2，因此ED=AD-AE=4-2=2。由于BF=2，因此FC=BC-BF=4-2=2。因此，△AEF是等腰直角三角形，其面积为(ED*FC)/2=2。
2. 题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=1，S2=3，S3=6，求第4项an。
答案：7
解析：由于S1=1，S2=3，S3=6，因此a1=S1=1，a2=S2-S1=3-1=2，a3=S3-S2=6-3=3。因此，数列{an}的公差为1，所以第4项an=a3+d=3+1=4。
