2021年高考数学甲卷真题及答案如下：
一、选择题
1. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. a ≤ 1
B. 1 < a < 3
C. a ≥ 3
D. a > 3
答案：C
解析：由题意知，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的导数f'(x) = 2x - 2。当x ∈ [1, 3]时，f'(x) > 0，即2x - 2 > 0，解得x > 1。因此，实数a的取值范围为a ≥ 3。
2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 18，a2 + a4 + a6 = 24，则数列{an}的通项公式为（ ）
A. an = 2n - 1
B. an = 4n - 3
C. an = 6n - 5
D. an = 8n - 7
答案：B
解析：由题意知，a1 + a3 + a5 = 3a3 = 18，解得a3 = 6。又a2 + a4 + a6 = 3a4 = 24，解得a4 = 8。因此，公差d = a4 - a3 = 2。由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a3和d的值，得an = 4n - 3。
3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围是（ ）
A. z = 0
B. z = 1
C. z = -1
D. z ∈ R
答案：D
解析：由复数的模的定义知，|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点1和点-1的距离相等。因此，复数z位于直线x = 0上，即z ∈ R。
4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)的图像与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A. a < -1
B. -1 < a < 2
C. a > 2
D. a ≥ 3
答案：B
解析：由题意知，f(x)的图像与x轴有三个交点，即f(x) = 0有三个实数根。因此，f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)有两个实数根，即x = 1和x = -1。又因为f(1) = 0，f(-1) = 0，所以f(x)的图像与x轴的交点为x = 1和x = -1。又因为f(x)在x = 1和x = -1两侧单调递增，所以f(x)的图像与x轴的第三个交点在x = 1和x = -1之间。因此，实数a的取值范围为-1 < a < 2。
5. 若函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|在区间[-2, 2]上的最大值为4，则实数a的取值范围是（ ）
A. a ≤ 0
B. 0 < a < 2
C. a ≥ 2
D. a > 2
答案：C
解析：由题意知，函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|在区间[-2, 2]上的最大值为4。因此，f(x)在x = -2和x = 2时取得最大值。又因为f(-2) = |(-2) - 1| + |(-2) + 1| = 4，f(2) = |2 - 1| + |2 + 1| = 4，所以实数a的取值范围为a ≥ 2。
二、填空题
1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 1]上单调递增，则实数a、b、c满足的条件是（ ）
A. a > 0，b ≥ 0，c ≥ 0
B. a > 0，b ≤ 0，c ≥ 0
C. a < 0，b ≥ 0，c ≥ 0
D. a < 0，b ≤ 0，c ≥ 0
答案：B
解析：由题意知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 1]上单调递增。因此，f'(x) = 2ax + b ≥ 0，即2ax ≥ -b。当x = -1时，2a(-1) ≥ -b，即-2a ≥ -b；当x = 1时，2a(1) ≥ -b，即2a ≥ -b。因此，实数a、b、c满足的条件是a > 0，b ≤ 0，c ≥ 0。
2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 18，a2 + a4 + a6 = 24，则数列{an}的前10项和S10为（ ）
答案：100
解析：由题意知，a1 + a3 + a5 = 3a3 = 18，解得a3 = 6。又a2 + a4 + a6 = 3a4 = 24，解得a4 = 8。因此，公差d = a4 - a3 = 2。由等差数列的前n项和公式S_n = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入a1和d的值，得S10 = 10/2 * (2a1 + 9d) = 5 * (2a1 + 9 * 2) = 5 * (2a1 + 18) = 5 * (a1 + 9) = 5 * (a3 + 6) = 5 * (6 + 6) = 5 * 12 = 60。
3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（ ）
答案：0
解析：由复数的模的定义知，|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点1和点-1的距离相等。因此，复数z位于直线x = 0上，即z的实部为0。
4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)的图像与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（ ）
答案：B
解析：由题意知，f(x)的图像与x轴有三个交点，即f(x) = 0有三个实数根。因此，f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)有两个实数根，即x = 1和x = -1。又因为f(1) = 0，f(-1) = 0，所以f(x)的图像与x轴的交点为x = 1和x = -1。又因为f(x)在x = 1和x = -1两侧单调递增，所以f(x)的图像与x轴的第三个交点在x = 1和x = -1之间。因此，实数a的取值范围为-1 < a < 2。
5. 若函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|在区间[-2, 2]上的最大值为4，则实数a的取值范围是（ ）
答案：C
解析：由题意知，函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|在区间[-2, 2]上的最大值为4。因此，f(x)在x = -2和x = 2时取得最大值。又因为f(-2) = |(-2) - 1| + |(-2) + 1| = 4，f(2) = |2 - 1| + |2 + 1| = 4，所以实数a的取值范围为a ≥ 2。
三、解答
