首先，我们要明确数列{an}的定义，其中a1=1，an+1=2an+1。这个数列的递推公式告诉我们，每一项都是前一项的两倍再加一。
接下来，我们可以通过观察数列的前几项来寻找规律。当n=1时，a1=1；当n=2时，a2=2a1+1=2×1+1=3；当n=3时，a3=2a2+1=2×3+1=7；当n=4时，a4=2a3+1=2×7+1=15。通过观察，我们可以发现数列的每一项都是前一项的两倍再加一。
为了更准确地表示这个数列，我们可以尝试写出通项公式。设an为数列的第n项，那么根据递推公式，我们有an+1=2an+1。将an+1替换为an，我们得到an=2an-1+1。这个公式告诉我们，每一项都是前一项的两倍再加一。
现在，我们来推导通项公式。首先，我们将an=2an-1+1改写为an-1=an/2-1/2。接着，我们将这个公式应用到an-2、an-3、an-4、...、a1上，得到an-2=an/4-1/4，an-3=an/8-1/8，...，a1=an/2^n-1/2^n。将这些公式相加，我们得到an=(an/2^n-1/2^n)+(an/2^(n-1)-1/2^(n-1))+...+(an/2-1/2)+1。
将上述公式中的an/2^n、an/2^(n-1)、...、an/2分别提取出来，我们得到an=(an/2^n)+(an/2^(n-1))+...+(an/2)+1。由于an/2^n、an/2^(n-1)、...、an/2都是数列{an}的前n-1项，我们可以用数列的前n-1项的和来表示它们。设数列的前n-1项和为S(n-1)，那么an=S(n-1)+1。
现在，我们来计算数列的前n项和。根据an=S(n-1)+1，我们有a2=S1+1，a3=S2+1，...，an=S(n-1)+1。将这些公式相加，我们得到an+a2+a3+...+a(n-1)=S1+S2+...+S(n-1)+(n-1)。由于数列的前n项和等于S(n-1)，我们可以将上述公式改写为2S(n-1)=(n-1)。
最后，我们来解这个方程。将2S(n-1)=(n-1)两边同时除以2，得到S(n-1)=(n-1)/2。由于S(n-1)是数列的前n-1项和，我们可以用S(n-1)来表示数列的第n项。因此，an=S(n-1)+1=(n-1)/2+1=n/2。
综上所述，数列{an}的通项公式为an=n/2。这个公式告诉我们，数列的第n项等于n除以2。例如，当n=1时，a1=1/2；当n=2时，a2=2/2=1；当n=3时，a3=3/2；当n=4时，a4=4/2=2。通过这个公式，我们可以轻松地计算出数列的任意一项。
