2023年全国乙卷高考理科数学试卷及答案如下：
一、选择题
1. 已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$，若$f(1)=2$，$f(2)=4$，$f(3)=6$，则$a+b+c$的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案：D
解析：由题意可得：
$$\begin{cases}
a+b+c=2 \\
4a+2b+c=4 \\
9a+3b+c=6
\end{cases}$$
解得$a=1$，$b=0$，$c=1$，所以$a+b+c=2$。
2. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cos A$的值为（ ）
A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{3}$
答案：A
解析：由余弦定理可得：
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times 4\times 5}=\frac{3}{5}$。
3. 设集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x^2-2x-3=0\}$，则$A\cap B$的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：解方程$x^2-3x+2=0$得$x=1$或$x=2$，解方程$x^2-2x-3=0$得$x=-1$或$x=3$，所以$A\cap B=\{1,2\}$，个数为2。
4. 函数$y=\frac{1}{x}$的图像与直线$y=2x+1$的交点坐标为（ ）
A. $(1,2)$ B. $(2,1)$ C. $(1,-2)$ D. $(-2,1)$
答案：B
解析：联立方程$\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\y=2x+1\end{cases}$，解得$x=2$，$y=1$，所以交点坐标为$(2,1)$。
5. 设$P$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的动点，$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$是椭圆的两个焦点，则$|PF_1|+|PF_2|$的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C
解析：由椭圆的定义可知，$|PF_1|+|PF_2|=2a=4$，所以最小值为4。
二、填空题
1. 函数$f(x)=x^3-3x+1$的图像与直线$y=2x+1$的交点个数为______。
答案：3
解析：由导数可得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm 1$，所以$f(x)$在$x=-1$和$x=1$处取得极值。又因为$f(-1)=3$，$f(1)=-1$，所以$f(x)$的图像与直线$y=2x+1$的交点个数为3。
2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=36$，则$a_1$的值为______。
答案：3
解析：由等差数列的性质可得：
$$\begin{cases}
5a_1+10d=15 \\
8a_1+28d=36
\end{cases}$$
解得$a_1=3$。
3. 在$\triangle ABC$中，若$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos B=\frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为______。
答案：$\frac{7}{25}$
解析：由正弦定理可得$\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{7}{25}$。
4. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为______。
答案：-2
解析：由导数可得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，又因为$f'(1)=-2$，所以$f'(1)$的值为-2。
5. 设$a>0$，$b>0$，若$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$，则$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}$的最小值为______。
答案：4
解析：由均值不等式可得：
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$$
当且仅当$a=b$时取等号，所以$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq 4$，最小值为4。
