福建省百校联考2025届高三11月测评数学试题及答案

一、选择题

1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(x)$的零点为（ ）

A. $x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=4$

B. $x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=-1$

C. $x_1=1$，$x_2=4$，$x_3=-1$

D. $x_1=1$，$x_2=-1$，$x_3=2$

答案：D

解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x_1=1$，$x_2=2$。当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$12$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$在$x=1$时取得极大值$f(1)=2$，在$x=2$时取得极小值$f(2)=-2$。又因为$f(0)=0$，$f(3)=0$，所以$f(x)$的零点为$x_1=1$，$x_2=-1$，$x_3=2$。

2. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=16$，则该数列的前10项和为（ ）

A. 110

B. 120

C. 130

D. 140

答案：A

解析：由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=4$。所以$a_{10}=a_1+9d=2+9\times4=38$。前10项和$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5\times(2+38)=110$。

3. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f(x)$的对称中心为（ ）

A. $x=0$

B. $y=0$

C. $x=0$，$y=0$

D. 无对称中心

答案：C

解析：因为$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数。又因为$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1$，所以$f(x)$的对称中心为$(0,1)$。

二、填空题

4. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$，则$f(x)$的定义域为（ ）

答案：$[1,+\infty)$

解析：因为$f(x)$是根号函数，所以$x^2-2x+2\geq0$。解得$x\geq1$，所以$f(x)$的定义域为$[1,+\infty)$。

5. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_3=9$，则该数列的公比为（ ）

答案：3

解析：由等比数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得$q=\sqrt[2]{\frac{a_3}{a_1}}=\sqrt[2]{\frac{9}{3}}=3$。

三、解答题

6. （15分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的单调区间和极值。

答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x_1=1$，$x_2=2$。当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$12$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$在$x=1$时取得极大值$f(1)=2$，在$x=2$时取得极小值$f(2)=-2$。

7. （15分）已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=16$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

答案：$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=4$，$a_{10}=a_1+9d=2+9\times4=38$，$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5\times(2+38)=110$。

8. （15分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的对称中心。

答案：$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数。又因为$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1$，所以$f(x)$的对称中心为$(0,1)$。

9. （15分）已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$，求$f(x)$的定义域。

答案：$x^2-2x+2\geq0$，解得$x\geq1$，所以$f(x)$的定义域为$[1,+\infty)$。

10. （15分）已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_3=9$，求该数列的公比。

答案：$q=\sqrt[2]{\frac{a_3}{a_1}}=\sqrt[2]{\frac{9}{3}}=3$。