2025届福建百校高三10月联考数学试题及答案如下：

一、选择题

1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（ ）

A. $(1, 0)$

B. $(2, 1)$

C. $(0, 1)$

D. $(1, 1)$

答案：B

解析：首先求出函数的导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。将$x = 1$代入原函数得$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3$，所以对称中心为$(2, 1)$。

2. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中正确的是（ ）

A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$

B. $(a + b)^2 \geq 4ab$

C. $a^3 + b^3 \geq 3ab$

D. $a^2 + b^2 \geq 2ab + 2ab$

答案：B

解析：由均值不等式知，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，故A选项错误；由平方差公式知，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$，故B选项正确；由立方和公式知，$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq 3ab$，故C选项错误；由平方差公式知，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，故D选项错误。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_4 + a_5 + a_6 = 27$，则$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$的值为（ ）

A. 36

B. 54

C. 72

D. 108

答案：C

解析：由等差数列的性质知，$a_4 = a_1 + 3d$，$a_5 = a_1 + 4d$，$a_6 = a_1 + 5d$。代入$a_4 + a_5 + a_6 = 27$得$3a_1 + 12d = 27$，即$a_1 + 4d = 9$。又因为$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，所以$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 9$，解得$a_1 = 1$，$d = 2$。所以$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 6a_1 + 15d = 6 \times 1 + 15 \times 2 = 36$。

二、填空题

4. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$的极值点为$x = \frac{3}{2}$。

5. 若$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin 2\alpha = \frac{1}{2}$。

6. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，$a_5 = 10$，则公差$d = 2$。

三、解答题

7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的单调区间。

答案：首先求出函数的导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(-\infty, \frac{2}{3})$上单调递增；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，所以$f(x)$在$(\frac{2}{3}, 1)$上单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增。

8. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_4 + a_5 + a_6 = 27$，求$a_1$和$d$。

答案：由等差数列的性质知，$a_4 = a_1 + 3d$，$a_5 = a_1 + 4d$，$a_6 = a_1 + 5d$。代入$a_4 + a_5 + a_6 = 27$得$3a_1 + 12d = 27$，即$a_1 + 4d = 9$。又因为$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，所以$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 9$，解得$a_1 = 1$，$d = 2$。

9. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，求$f(x)$的极值。

答案：首先求出函数的导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(-\infty, \frac{2}{3})$上单调递增；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，所以$f(x)$在$(\frac{2}{3}, 1)$上单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增。因此，$f(x)$的极大值为$f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{