一、分数与除法
在自然数*里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数*扩充为非负有理数*后，除法运算才变得畅通无阻。
例如，3÷4＝？在自然数*里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数*里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。
如何理解3÷4＝的数学意义呢？
⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。
一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。
⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。这里，3和都表示量，而4是量数。
事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。
例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：
⑴3是的几分之几？
从上图，可以看出：3÷＝。
⑵3平均分成份，每份是多少？
因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。
从上图，也可以看出：3÷＝。
注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。
所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。
二、百分数
百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？
事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题：
在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。
队员
踢点球的次数
罚中的次数
3号队员
18
20
5号队员
21
25
7号队员
13
12
从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大校
解法1：（化为同分母的分数进行比较）
＝，
＝，
＝。
因为＞＞，
所以＞＞。
由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择。
不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错。
解法2：（化为小数进行比较）
＝18÷20＝0.90，
＝21÷25＝0.84，
＝12÷13＞0.923。
因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。
化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特*，即表示量的倍比关系的意义。因此，需要寻找既能保持分数的特*，计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了。
新的办法就是把分母统统变成100。
把与化为分母是100的分数不难：＝，＝。
问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢？
设所化成的分数的分子为x，即
＝，
两边同乘100，得
x＝×100，
x≈92.3。
所以，≈。这个结果与前面学过的分数不同的地方是，它的分子是一个小数。
的意义是：如果把13平均分成100份，那么12大约占其中的92.3份。也就是说，这种分数只能表示两个量的倍比关系，而不具有表示量的功能。
于是，人们把形如，，，......等，只能表示量的倍比关系，不能表示量的分数，统称为百分数；并引入新的符号“％”（叫做百分号），把百分数记为84％，90％，92.3％，......，以便从形式上与前面学过的分数加以区别。
显然，84％＜90％＜92.3％，通过百分数的大小比较，也说明是7号队员点球的罚中率最高。
诚然，把分数化为百分数还有更简捷的途径，即通过小数转化。
如，≈0.923＝92.3％。但是这种方法，对于理解百分数的意义，不如方程的方法直观。
三、比
比，顾名思义，与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。
下面先探讨一个现实问题平面图画得像不像。
例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形，如下图a。
⑴在b、c、d、e、f等图形中，你认为哪几个长方形的形状像图a，哪几个不像？
⑵对形状与图a（羽毛球场）相同的长方形，请你比较它们的长和宽，能发现其中的规律吗？
⑶在图a内，请你画一个形状与图a相同的长方形，且这个长方形的长是图a的长的。
任何正方形的形状都一样，但长方形的形状却有差异。图a恰好可以分成两个大小相同的正方形。发现图a的这个特*，能帮助我们找出其他形状与图a相同的长方形，如图d和e。而图b、c和f都不具有图a的这种特*，所以它们的形状与图a不同。
图a可以分成两个大小相同的正方形，等价于它的长是宽的2倍。形状与图a相同的长方形，长都是宽的2倍；形状与图a不同的长方形，长都不是宽的2倍。这就是我们发现的规律。
一般地，a、b分别表示一个长方形的长和宽，分数表示这个长方形的长与宽的倍比关系。这个分数的重要*在于它提供了长方形的一个分类标准：凡是长是宽的倍的长方形，都是形状相同的长方形，它们归为一类。图形的分类对于认识图形的*质具有重要的意义。
不过用“长是宽的倍”来刻画长方形的形状特征，有时很麻烦。例如，当a或b是分数时，是一个繁分数。为了避免进行繁分数的繁难运算，就需要改进对“长是宽的倍”这一特征的描述，从而引入比的概念。
“长是宽的倍”，可以用“长与宽的比是a?b”取而代之。
当a、b表示两个不同的量时，a?b＝＝a÷b。
所以，比可以定义为：两个量相除，叫做这两个量的比。
虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的，但对于不同的问题情境，仍然需要选择恰当的简便的表征方式，并掌握它们的相互转换。
例2蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料，要配制450毫升这种饮料，需要蜂蜜和绿茶各多少毫升？
在这个问题中，蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便，即蜂蜜?绿茶＝2?7。
解法1：（应用方程）
设：一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升，则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升，绿茶7x毫升。
2x＋7x＝450，
9x＝450
x＝50。
2x＝2×50＝100，
7x＝7×50＝350。
答：配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶。
解法2：（综合应用比和分数）蜂蜜?绿茶＝2?7＝?，且
＋＝1。因此，蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分与整体（蜂蜜绿茶）的倍比关系。从而，为应用分数解决问题创造了条件，图示如下：
450×＝100，
450×＝350。
解法1是代数方法，解法2是算术方法，殊途同归。
例37个女生平分4个蛋糕，3个男生平分2个蛋糕。是每个女生分得多一些，还是每个男生分得多一些？
解法1：每个女生分得个蛋糕，每个男生分得个蛋糕。问题可以归结为比较分数与的大小。比较两个量的倍比关系又有如下两种方法。
方法1：（利用除法）
÷＝×＝。
因为＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
方法2：（利用比）
?＝12?14。
因为12?14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法2：（利用比）分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系。
女生蛋糕?男生蛋糕＝4?2＝2?1，
女生人数?男生蛋糕＝7?3。
因为7?3＞6?3＝2?1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法3：（利用图解）
上图说明，如果只有6个女生平分4个蛋糕，那么女生和男生将分得同样多。但女生有7个，7个女生平分4个蛋糕，每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。
上述解法2与解法3有异曲同工之妙，妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法对应。
比的概念不仅进一步揭示了分数的本质量的倍比关系，而且也丰富了表征思维过程的方法和手段，使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候，有更多的思路和方法可以选择，可以灵活转换，左右逢源。
